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第8章　問題

NLP (自然言語処理)100ノック
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第8章: ニューラルネット

第6章で取り組んだニュース記事のカテゴリ分類を題材として，ニューラルネットワークでカテゴリ分類モデルを実装する．なお，この章ではPyTorch, TensorFlow, Chainerなどの機械学習プラットフォームを活用せよ．

70. 単語ベクトルの和による特徴量

問題50で構築した学習データ，検証データ，評価データを行列・ベクトルに変換したい．例えば，学習データについて，すべての事例xix_iの特徴ベクトルxix_iを並べた行列XXと，正解ラベルを並べた行列（ベクトル）YYを作成したい．
X=(x1x2⋯xn)∈Rn×d,Y=(y1y2⋯yn)∈Nn X=\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{x}_{1} \\ \boldsymbol{x}_{2} \\ \cdots \\ \boldsymbol{x}_{n} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times d}, Y=\left(\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n} \end{array}\right) \in \mathbb{N}^{n}
ここで，nnは学習データの事例数であり，xi∈Rdx_i\in \mathbb{R}_dとyi∈Ny_i\in \mathbb{N}はそれぞれ，i∈{1,…,n}i \in\{1, \ldots, n\}番目の事例の特徴量ベクトルと正解ラベルを表す． なお，今回は「ビジネス」「科学技術」「エンターテイメント」「健康」の4カテゴリ分類である．N<4\mathbb{N}<4で4未満の自然数（0を含む）を表すことにすれば，任意の事例の正解ラベルyiy_iはyi∈N<4y_i∈\mathbb{N}<4で表現できる． 以降では，ラベルの種類数をLLで表す（今回の分類タスクではL=4L=4である）．
ii番目の事例の特徴ベクトルxix_iは，次式で求める．
xi=1Ti∑t=1Tiemb⁡(wi,t) \boldsymbol{x}_{i}=\frac{1}{T_{i}} \sum_{t=1}^{T_{i}} \operatorname{emb}\left(w_{i, t}\right)
ここで，ii番目の事例はTiT_i個の（記事見出しの）単語列(wi,1,wi,2,…,wi,Ti)(w_{i,1},w_{i,2},…,w_{i,Ti})から構成され，emb(w)∈Rdemb(w)∈ℝdは単語wwに対応する単語ベクトル（次元数はdd）である．すなわち，ii番目の事例の記事見出しを，その見出しに含まれる単語のベクトルの平均で表現したものがxix_iである．今回は単語ベクトルとして，問題60でダウンロードしたものを用いればよい．300次元の単語ベクトルを用いたので，d=300d=300である．
ii番目の事例のラベルyiy_iは，次のように定義する．
yi={0 (記事 xi が「ビジネス」カテゴリの場合) 1 (記事 xi が「科学技術」カテゴリの場合) 2 (記事 xi が 「エンターテイメント」カテゴリの場合) 3( 記事 xi が「健康」カテゴリの場合 ) y_{i}= \begin{cases}0 & \text { (記事 } x_{i} \text { が「ビジネス」カテゴリの場合) } \\ 1 & \text { (記事 } x_{i} \text { が「科学技術」カテゴリの場合) } \\ 2 & \text { (記事 } x_{i} \text { が 「エンターテイメント」カテゴリの場合) } \\ 3 & \left(\text { 記事 } x_{i} \text { が「健康」カテゴリの場合 }\right)\end{cases}
なお，カテゴリ名とラベルの番号が一対一で対応付いていれば，上式の通りの対応付けでなくてもよい．
以上の仕様に基づき，以下の行列・ベクトルを作成し，ファイルに保存せよ．
  • 学習データの特徴量行列: Xtrain∈RNt×dX_{train}∈ℝ^{Nt×d}
  • 学習データのラベルベクトル: Ytrain∈NNtY_{train}∈ℕ^{N_t}
  • 検証データの特徴量行列: Xvalid∈RNv×dX_{valid}∈ℝ^{N_v×d}
  • 検証データのラベルベクトル: Yvalid∈NNvY_{valid}∈ℕ^{N_v}
  • 評価データの特徴量行列: Xtest∈RNe×dX_{test}∈ℝ^{N_e×d}
  • 評価データのラベルベクトル: Ytest∈NNeY_{test}∈ℕ^{N_e}
なお，NtNt,NvNv,NeNeはそれぞれ，学習データの事例数，検証データの事例数，評価データの事例数である
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71. 単層ニューラルネットワークによる予測

問題70で保存した行列を読み込み，学習データについて以下の計算を実行せよ．
y^1=softmax⁡(x1W)Y^=softmax⁡(X[1:4]W) \begin{aligned} &\hat{\boldsymbol{y}}_{1}=\operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{x}_{1} W\right) \\ &\hat{Y}=\operatorname{softmax}\left(X_{[1: 4]} W\right) \end{aligned}
ただし，softmaxsoftmaxはソフトマックス関数，X[1:4]∈R4×dX_{[1:4]}∈ℝ^{4×d}は特徴ベクトルx1x_1,x2x_2,x3x_3,x4x_4を縦に並べた行列である．
X[1:4]=(x1x2x3x4) X_{[1: 4]}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)
行列W∈Rd×LW∈ℝ^{d×L}は単層ニューラルネットワークの重み行列で，ここではランダムな値で初期化すればよい（問題73以降で学習して求める）．なお，y^1∈RL\hat{\boldsymbol{y}}_{1}∈ℝ^Lは未学習の行列WWで事例x1x_1を分類したときに，各カテゴリに属する確率を表すベクトルである． 同様に，y^∈Rn×L\hat{\boldsymbol{y}}∈ℝ^{n×L}は，学習データの事例x1x_1,x2x_2,x3x_3,x4x_4について，各カテゴリに属する確率を行列として表現している．
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